math – lucaamore.com

La rappresentazione dell’insieme di Mandelbrot, considerato uno dei frattali più popolari, è tra i miei algoritmi di prova preferiti quando studio un nuovo linguaggio di programmazione.

L’algoritmo di base è estremamente semplice e si presta facilmente ad esser parallelizzato.

Recentemente, all’interno dei Google Labs, è stata rilasciata un’applicazione Web che, sfruttando le API di Google Maps e canvas di HTML5, permette la navigazione all’interno dell’insieme di Mandelbrot o di altri frattali (es. Julia); vi consiglio di utilizzarla per un tour veloce.

Definizione formale

L’insieme di Mandelbrot è definito come il sottoinsime del piano complesso per cui la successione ricorsiva:

$P^c_n= \begin{cases} & Z_0=0 \\ & Z_{n+1}=Z_n^2+c \end{cases}$

al tendere di n all’infinito, rimane limitata nel suo modulo, ovvero:

$M=\left\{c\in \mathbb{C} : \exists s \in \mathbb{R}, \forall n \in \mathbb{N},|P_n^c| \leq s \right\}$

Sorgente perl

Ecco un sorgente perl che rappresenta l’insieme in modalità rigorosamente monocromatica:

#!/usr/bin/perl
 
##########################
# M A N D E L B R O T
# Luca Amore
##########################
 
use strict;
use warnings;
 
use GD;
 
my $FILENAME = 'mandelbrot.png';
my $ITERATIONS = 30;
my ($SIZEX, $SIZEY) = (700, 400);
my ($RE_MIN, $RE_MAX) = (-2.5, 1.0);
my ($IM_MIN, $IM_MAX) = (-1.0, 1.0);
 
my $re_factor = ($RE_MAX - $RE_MIN) / $SIZEX;
my $im_factor = ($IM_MAX - $IM_MIN) / $SIZEY;
 
my $img = new GD::Image->newTrueColor($SIZEX,$SIZEY)
    or die "Can't create GD::Image";
 
# palette
my $cl_black = $img->colorAllocate(  0,  0,  0);
my $cl_white = $img->colorAllocate(255,255,255);
 
open(my $fh, '>', $FILENAME)
    or die "Can't open $FILENAME: $!";
 
binmode $fh;
 
my $C_im = $IM_MIN;
 
YY: for (my $yy=0; $yy < $SIZEY; $yy++){
 
    my $C_re = $RE_MIN;
 
    XX: for (my $xx=0; $xx < $SIZEX; $xx++){
 
        my ($Z_re, $Z_im, $i) = (0,0);
 
        # Z0=0, Zn+1 = Zn^2 + C
        ESCAPE_ITERATIONS: for ($i = 1; $i < $ITERATIONS; $i++){
 
            my ($Z_re2, $Z_im2) = ($Z_re * $Z_re, $Z_im * $Z_im);
 
            last ESCAPE_ITERATIONS unless ($Z_re2 + $Z_im2 < 4);
 
            # (a+bi)^2 = a^2 + 2abi - b^2
            $Z_im = 2 * $Z_re * $Z_im + $C_im;
            $Z_re = $Z_re2 - $Z_im2 + $C_re;
 
        } # end: ESCAPE_ITERATIONS
 
        # draw pixel
        $img->setPixel(
            $xx, $yy, $i == $ITERATIONS ? $cl_black : $cl_white
        );
 
        $C_re += $re_factor;
 
    } # end: XX
 
    $C_im += $im_factor;
 
} # end: YY
 
# save image
print $fh $img->png(0);
close $fh;

Il codice è stato mantenuto semplice per facilitare le modifiche e la comprensione.

E’ richiesto il package GD per la produzione dell’immagine di output in formato PNG: “mandelbrot.png“.

mandelbrot.png generato dal sorgente perl

Colori

Normalmente, per rendere tale frattale più gradevole, nella sua rappresentazione più semplice, si colorano i punti esterni all’insieme in funzione della velocità con la quale divergono a più infinito. Per la colorazione dei punti interni ed esterni esistono una miriade di algoritmi di complessità crescente; alcuni spunti interessanti.

Insieme di Julia

Una variante dell’insieme di Mandelbrot è l’insieme di Julia definito in questo modo: