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Rappresentazione dell’insieme frattale di Mandelbrot in Perl

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Mandelbrot

La rappresentazione dell’insieme di Mandelbrot, considerato uno dei frattali più popolari, è tra i miei algoritmi di prova preferiti quando studio un nuovo linguaggio di programmazione.

L’algoritmo di base è estremamente semplice e si presta facilmente ad esser parallelizzato.

Recentemente, all’interno dei Google Labs, è stata rilasciata un’applicazione Web che, sfruttando le API di Google Maps e canvas di HTML5, permette la navigazione all’interno dell’insieme di Mandelbrot o di altri frattali (es. Julia); vi consiglio di utilizzarla per un tour veloce.

Definizione formale

L’insieme di Mandelbrot è definito come il sottoinsime del piano complesso per cui la successione ricorsiva:

P^c_n= \begin{cases} & Z_0=0 \\ & Z_{n+1}=Z_n^2+c \end{cases}

 

al tendere di n all’infinito, rimane limitata nel suo modulo, ovvero:

M=\left\{c\in \mathbb{C} : \exists s \in \mathbb{R}, \forall n \in \mathbb{N},|P_n^c| \leq s \right\}

 

Sorgente perl

Ecco un sorgente perl che rappresenta l’insieme in modalità rigorosamente monocromatica:

#!/usr/bin/perl

##########################
# M A N D E L B R O T
# Luca Amore
##########################

use strict;
use warnings;

use GD;

my $FILENAME = 'mandelbrot.png';
my $ITERATIONS = 30;
my ($SIZEX, $SIZEY) = (700, 400);
my ($RE_MIN, $RE_MAX) = (-2.5, 1.0);
my ($IM_MIN, $IM_MAX) = (-1.0, 1.0);

my $re_factor = ($RE_MAX - $RE_MIN) / $SIZEX;
my $im_factor = ($IM_MAX - $IM_MIN) / $SIZEY;

my $img = new GD::Image->newTrueColor($SIZEX,$SIZEY)
    or die "Can't create GD::Image";

# palette
my $cl_black = $img->colorAllocate(  0,  0,  0);
my $cl_white = $img->colorAllocate(255,255,255);

open(my $fh, '>', $FILENAME) 
    or die "Can't open $FILENAME: $!";

binmode $fh;

my $C_im = $IM_MIN;

YY: for (my $yy=0; $yy < $SIZEY; $yy++){
   
    my $C_re = $RE_MIN;

    XX: for (my $xx=0; $xx < $SIZEX; $xx++){
    
        my ($Z_re, $Z_im, $i) = (0,0);

        # Z0=0, Zn+1 = Zn^2 + C
        ESCAPE_ITERATIONS: for ($i = 1; $i<$ITERATIONS; $i++){

            my ($Z_re2, $Z_im2) = ($Z_re * $Z_re, $Z_im * $Z_im);

            last ESCAPE_ITERATIONS unless ($Z_re2 + $Z_im2 < 4);

            # (a+bi)^2 = a^2 + 2abi - b^2
            $Z_im = 2 * $Z_re * $Z_im + $C_im;
            $Z_re = $Z_re2 - $Z_im2 + $C_re;

        } # end: ESCAPE_ITERATIONS

        # draw pixel
        $img->setPixel(
            $xx, $yy, $i == $ITERATIONS ? $cl_black : $cl_white
        );

        $C_re += $re_factor;

    } # end: XX

    $C_im += $im_factor;

} # end: YY

# save image
print $fh $img->png(0);
close $fh;

Il codice è stato mantenuto semplice per facilitare le modifiche e la comprensione.

E’ richiesto il package GD per la produzione dell’immagine di output in formato PNG: “mandelbrot.png“.

mandelbrot.png generato dal sorgente perl

 

Colori

Normalmente, per rendere tale frattale più gradevole, nella sua rappresentazione più semplice, si colorano i punti esterni all’insieme in funzione della velocità con la quale divergono a più infinito. Per la colorazione dei punti interni ed esterni esistono una miriade di algoritmi di complessità crescente; alcuni spunti interessanti.

Insieme di Julia

Una variante dell’insieme di Mandelbrot è l’insieme di Julia definito in questo modo:

Q_n^K(c)= \begin{cases} & Z_0=c \\ & Z_{n+1}=Z_n^2+K \end{cases}

 

Rispetto all’insieme di Mandelbrot cambia la successione ricorsiva ed è stata introdotta una costante complessa K.

Analogamente a Mandelbrot i punti appartenenti all’insieme di Julia sono quelli per cui il modulo della successione ricorsiva non diverge.

J=\left\{c\in \mathbb{C} : \exists s \in \mathbb{R}, \forall n \in \mathbb{N},|Q_n^K(c)| \leq s \right\}

 

Alcuni valori di K che si consiglia di esplorare:

  • K = 0.353+0.288i
  • K = -0.70176-0.3842i
  • K = -0.835-0.2321i
  • K= -0.45+0.1428i

Dopo aver adeguato lo script perl, ho rappresentato questi insiemi di Julia:

Insieme di Julia (K=0.353+0.288i)

    Insieme di Julia (K=-0.835-0.2321i)

    Riferimenti

    Mandelbrot Set – Wikipedia
    Mu-Ency – The Encyclopedia of the Mandelbrot Set
    The Mandelbrot Set (algoritmo tracciamento)
    Julia Set – Wikipedia

    Esplorazione

    Visual Guide To Patterns In The Mandelbrot SetMandelbrot: World Map and Popular Tourist Areas

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