{"id":331,"date":"2011-04-07T01:17:39","date_gmt":"2011-04-07T00:17:39","guid":{"rendered":"http:\/\/julia2.lucaamore.com\/?p=331"},"modified":"2024-02-09T21:06:32","modified_gmt":"2024-02-09T19:06:32","slug":"rappresentazione-dellinsieme-frattale-di-mandelbrot","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.lucaamore.com\/?p=331","title":{"rendered":"Rappresentazione dell’insieme frattale di Mandelbrot in Perl"},"content":{"rendered":"\n
\"\"<\/a><\/figure>\n\n\n\n

La rappresentazione dell’insieme di Mandelbrot<\/a>, considerato uno dei frattali<\/a> pi\u00f9 popolari, \u00e8 tra i miei algoritmi di prova preferiti quando studio un nuovo linguaggio di programmazione.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/a>
Mandelbrot<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

L’algoritmo di base \u00e8 estremamente semplice e si presta facilmente ad esser parallelizzato.<\/p>\n\n\n\n

Recentemente, all’interno dei Google Labs, \u00e8 stata rilasciata un’applicazione Web che, sfruttando le API di Google Maps e canvas di HTML5, permette la navigazione all’interno dell’insieme di Mandelbrot o di altri frattali (es. Julia); vi consiglio di utilizzarla per un tour veloce.<\/p>\n\n\n\n

Definizione formale<\/strong><\/p>\n\n\n\n

L’insieme di Mandelbrot \u00e8 definito come il sottoinsime del piano complesso per cui la successione ricorsiva:<\/p>\n\n\n

P^c_n= \\begin{cases} & Z_0=0 \\\\ & Z_{n+1}=Z_n^2+c \\end{cases} <\/p>\n\n\n\n

al tendere di n all’infinito, rimane limitata nel suo modulo, ovvero:<\/p>\n\n\n

M=\\left\\{c\\in \\mathbb{C} : \\exists s \\in \\mathbb{R}, \\forall n \\in \\mathbb{N},|P_n^c| \\leq s \\right\\} <\/p>\n\n\n\n

Sorgente perl<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Ecco un sorgente perl che rappresenta l’insieme in modalit\u00e0 rigorosamente monocromatica:
<\/p>\n\n\n

\n#!\/usr\/bin\/perl\n \n##########################\n# M A N D E L B R O T\n# Luca Amore\n##########################\n \nuse strict;\nuse warnings;\n \nuse GD;\n \nmy $FILENAME = 'mandelbrot.png';\nmy $ITERATIONS = 30;\nmy ($SIZEX, $SIZEY) = (700, 400);\nmy ($RE_MIN, $RE_MAX) = (-2.5, 1.0);\nmy ($IM_MIN, $IM_MAX) = (-1.0, 1.0);\n \nmy $re_factor = ($RE_MAX - $RE_MIN) \/ $SIZEX;\nmy $im_factor = ($IM_MAX - $IM_MIN) \/ $SIZEY;\n \nmy $img = new GD::Image->newTrueColor($SIZEX,$SIZEY)\n    or die \"Can't create GD::Image\";\n \n# palette\nmy $cl_black = $img->colorAllocate(  0,  0,  0);\nmy $cl_white = $img->colorAllocate(255,255,255);\n \nopen(my $fh, '>', $FILENAME)\n    or die \"Can't open $FILENAME: $!\";\n \nbinmode $fh;\n \nmy $C_im = $IM_MIN;\n \nYY: for (my $yy=0; $yy < $SIZEY; $yy++){\n \n    my $C_re = $RE_MIN;\n \n    XX: for (my $xx=0; $xx < $SIZEX; $xx++){\n \n        my ($Z_re, $Z_im, $i) = (0,0);\n \n        # Z0=0, Zn+1 = Zn^2 + C\n        ESCAPE_ITERATIONS: for ($i = 1; $i < $ITERATIONS; $i++){\n \n            my ($Z_re2, $Z_im2) = ($Z_re * $Z_re, $Z_im * $Z_im);\n \n            last ESCAPE_ITERATIONS unless ($Z_re2 + $Z_im2 < 4);\n \n            # (a+bi)^2 = a^2 + 2abi - b^2\n            $Z_im = 2 * $Z_re * $Z_im + $C_im;\n            $Z_re = $Z_re2 - $Z_im2 + $C_re;\n \n        } # end: ESCAPE_ITERATIONS\n \n        # draw pixel\n        $img->setPixel(\n            $xx, $yy, $i == $ITERATIONS ? $cl_black : $cl_white\n        );\n \n        $C_re += $re_factor;\n \n    } # end: XX\n \n    $C_im += $im_factor;\n \n} # end: YY\n \n# save image\nprint $fh $img->png(0);\nclose $fh;\n<\/pre><\/div>\n\n\n
Il codice \u00e8 stato mantenuto semplice per facilitare le modifiche e la comprensione.<\/p>\n\n\n\n
E’ richiesto il package GD<\/a> per la produzione dell’immagine di output in formato PNG: “mandelbrot.png<\/em>“.<\/p>\n\n\n
\n
\"\"<\/a>
mandelbrot.png generato dal sorgente perl<\/figcaption><\/figure>\n<\/div>\n\n\n
 <\/p>\n\n\n\n
Colori<\/strong><\/span><\/p>\n\n\n\n
Normalmente, per rendere tale frattale pi\u00f9 gradevole, nella sua rappresentazione pi\u00f9 semplice, si colorano i punti esterni all’insieme in funzione della velocit\u00e0 con la quale divergono a pi\u00f9 infinito. Per la colorazione dei punti interni ed esterni esistono una miriade di algoritmi di complessit\u00e0 crescente; alcuni spunti interessanti<\/a>.<\/p>\n\n\n\n
Insieme di Julia<\/strong><\/p>\n\n\n\n
Una variante dell’insieme di Mandelbrot \u00e8 l’insieme di Julia<\/a> definito in questo modo:<\/p>\n\n\n
 Q_n^K(c)= \\begin{cases} & Z_0=c \\\\ & Z_{n+1}=Z_n^2+K \\end{cases} <\/p>\n\n\n\n
Rispetto all’insieme di Mandelbrot cambia la successione ricorsiva ed \u00e8 stata introdotta una costante complessa K.<\/p>\n\n\n\n
Analogamente a Mandelbrot i punti appartenenti all’insieme di Julia sono quelli per cui il modulo della successione ricorsiva non diverge.<\/p>\n\n\n
 J=\\left\\{c\\in \\mathbb{C} : \\exists s \\in \\mathbb{R}, \\forall n \\in \\mathbb{N},|Q_n^K(c)| \\leq s \\right\\} <\/p>\n\n\n\n
Alcuni valori di K che si consiglia di esplorare:<\/p>\n\n\n\n